随伴技術者枠の制度設計

業種別留保と参加確定時課金の抽選を組み合わせた動学的配分

要旨

企業の技術者が訓練へ随伴する機会を、業種別の留保枠、競争入札および参加確定時のみ料金を徴収する抽選によって配分する仮想制度を分析する。企業の支払意思額と、防衛力への社会的な学習価値が一致しない場合に、どのような配分が望ましいかを問う。同質企業・一様な私的参加費用を用いた基準モデルでは、抽選先行・全員受諾の下で、抽選枠の導入は実参加費用を増加させ、所与の最高敗者価格方式の期待収入を厳密に低下させる。一方、異質な業種と技術的補完性がある場合、業種別留保や配分順序の変更は、学習構成と収入を同時に改善し得る。ただし最低入札価格を変更した制度との順位は異なる。長命の育成対象企業を導入すると、将来の抽選機会の価値が現在の参加受諾を抑制し、配分政策の異なる複数の定常均衡が共存する。知識の陳腐化を含む二状態モデルについて、受諾閾値と均衡の共存条件を明示する。さらに訓練財源を蓄積状態として内生化すると、敗者の入札にも財源操作の誘因が生じる。この誘因を含む有限期間モデルを後ろ向きに解き、企業育成、財源確保、参加費の選択が状態と残り期間に依存することを示す。一般的な業種別枠の評価には、業種間波及、訓練財源の影の価値および均衡選択を含む必要がある。

キーワード： 業種別留保、参加確定時課金、動学的オークション、財政外部性、技術的補完性、訓練財政、均衡選択

1. 序論

現実の利用環境を観察する機会は、製品の不具合だけでなく、利用者が明示できていなかった要求の発見にもつながる。本稿は、そのような学習機会として、民間技術者が部隊の訓練に随伴する枠を設け、企業による入札・参加費収入を訓練手当や訓練基盤へ還流する仮想制度を考える。

随伴機会を支払意思額の高い企業に配分すれば、当該機会の私的価値に応じた選別ができる。しかし、私的価値は装備体系全体への貢献を完全には反映しない。輸出機会や企業規模が小さい業種であっても、他の装備の運用を成立させる技術を持つ場合がある。逆に、当期の入札額が高い企業へ枠を集中させると、補完的な業種の学習や新規企業の育成が進まない可能性がある。

この問題に対して、業種ごとの枠を留保する方法と、一部の枠を抽選で配分する方法は異なる役割を持つ。業種別留保は学習機会の構成を直接制御する。抽選は、定められた対象集団の中で支払意思額によらない配分機会を与える。全社一様抽選だけでは、希少な業種が必ず選ばれるわけではない。

本稿で扱う抽選では、応募者は落選時に支払わない。当選し、参加を承諾して参加が確定した場合だけ定額の参加費を支払う。抽選券を販売する方式や、応募者全員が支払うオールペイ方式とは、資金調達と参加誘因が異なる。

先行研究であるpata（2026）[pata2026I]（以下、第I論文）は、随伴による企業の技術改善、輸出競争および訓練財源への還流が、企業の動学的入札をどのように変えるかを扱った。本稿は、配分方式と保護対象の設計へ分析を進める。主な結果は、同質な基準ケースにおける抽選の費用、異質な業種を含む留保・抽選・順序の比較、将来の抽選機会が生む受諾と政策の相互依存、および訓練財源を蓄積させた有限期間の制度比較である。

本稿は仮想制度の理論分析である。随伴が許可される対象と活動範囲は制度に先立って定められるものとし、現行の法制度や個別の訓練への適用可能性を論じるものではない。数値は正規化した仮定値であり、実証推計値ではない。

2. 関連研究と分析の位置づけ

経験を通じた生産性の変化は、Arrow（1962）[arrow1962]以来の学習理論の対象である。本稿では、累積生産量ではなく、利用環境へのアクセスを学習の入力とする。随伴による要求発見や装備改善の効果を、実証的に測定したものではない。

配分が参加者間の将来の相互作用を変える場合、落札者以外の利得も重要になる。Jehiel, Moldovanu and Stacchetti（1996）[jehiel1996]は、配分外部性を伴う売却を分析した。第I論文[pata2026I]と本稿の動学的配分価値も、競争相手の技術や将来の機会の変化を含む。

資金調達による参加者への便益は、財政外部性の研究と直接関係する。Goeree et al.（2005）[goeree2005]は、公共的な資金調達を目的とする入札・抽選等を比較した。Maasland and Onderstal（2007）[maaslandOnderstal2007]は、敗者が落札者の支払額を気にする入札を分析した。本稿の参加確定時課金の抽選は、落選者も抽選券代を支払う方式ではないため、これらの方式間順位をそのまま適用できない。訓練財源を内生化した分析でも、第2価格方式の真実申告を前提とせず、敗者の価格操作を含めて最適反応を計算する。

保護対象の定義と配分規則を区別する点は、留保枠の設計に関する研究と共通する。Hafalir, Yenmez and Yildirim（2013）[hafalir2013]は、学校選択で多数派への上限制約と少数派向け留保を区別した。本稿の業種別留保は、金銭支払と将来の学習・財源を伴う点で異なるが、形式的な枠数だけでは配分への効果が決まらないという論点を共有する。

動学的産業組織では、企業状態と投資・参入等を含む均衡の存在と計算可能性が中心となる。Doraszelski and Satterthwaite（2010）[doraszelskiSatterthwaite2010]は、適切な情報・移行構造が計算可能なマルコフ完全均衡を支える条件を示した。有限割引確率ゲームに関するFink（1964）[fink1964]の存在結果も、連続入札、同額時の不連続および連続状態を持つ本稿の一般モデルへ無条件に移せるわけではない。

本稿は、既存の配分外部性・財政外部性の概念を、業種構成、参加確定時課金、再訓練および訓練財源の蓄積を持つ制度へ接続する。解析命題を示す特殊ケースと、数値近似によって解くモデルを明確に区別する。

3. 一般的な制度設計の枠組み

3.1 状態と政策変数

企業集合を \mathcal I、業種集合を \mathcal J とし、企業 i の業種を j(i) とする。公開状態は、

S_t=(\mathbf k_t,H_t,\mathbf B_t,\mathcal E_t) \tag{1}

である。\mathbf k_t は企業の技術状態、H_t は訓練基盤、\mathbf B_t は支払可能資金、\mathcal E_t は適格性を満たす企業集合である。資金制約を省く特殊ケースでは \mathbf B_t を状態から除く。

政府は業種別の総枠数 M_{j,t}、その中の抽選枠数 K_{j,t}、参加費 f_{j,t}、入札方式・最低入札価格・配分順序を含む規則 \mathcal M_t を選ぶ。

a_t=(\mathbf M_t,\mathbf K_t,\mathbf f_t,\mathcal M_t), \qquad 0\le K_{j,t}\le M_{j,t}. \tag{2}

M_j と K_j は別の変数である。例えば、ある業種に1枠を留保して業種内で入札する制度と、業種を区別せず1枠を一様抽選する制度は一致しない。

随伴密度や運用上の制約を、

\begin{aligned} \sum_j M_{j,t}&\le \bar M_t\le\lfloor\chi L_t\rfloor,\\ \sum_j \varsigma_jM_{j,t}&\le\bar S_t,\qquad \sum_j \upsilon_jM_{j,t}\le\bar U_t \end{aligned} \tag{3}

と表す。L_t は部隊規模、\chi は随伴密度の上限、後二式は秘匿性・運用負担等の資源制約である。隊員5名に対し技術者1名という原案は \chi=0.2 のケースに当たるが、この比率の適否は本稿では推定しない。

3.2 抽選と入札の手順

基本の順序は抽選先行とする。政府が政策を公表した後、企業は当期の実参加費用を観察する。抽選は適格企業から重複なく行う。当選候補は参加を承諾または辞退でき、承諾時だけ参加費を支払う。辞退者は当期の再抽選から除外されるが、当初から設定されていた残余入札枠への参加資格は失わない。

辞退された抽選枠は残る対象企業へ再抽選する。対象が尽きても埋まらない抽選枠は欠員とし、当期の入札枠へ自動転換しない。この規則により、辞退を通じて抽選枠を低価格の入札枠へ変える行動を区別する。以下の具体例ではA社の受諾条件を確認しており、均衡経路上では抽選枠は充足される。

個別の打診順序と辞退履歴は他社へ公表しない。これは情報構造の仮定であり、秘密情報へのアクセス資格の非公開を意味しない。辞退履歴を公開する制度では、後から打診された企業が他社の私的費用を推測でき、受諾戦略を解き直す必要がある。

残余枠は、各社1枠までの単位需要を前提に、最高敗者価格による複数財第2価格方式で配分する。同額処理、入札上限、最低価格は制度ごとに明示する。応募料は徴収しない。

3.3 学習・輸出利益・訓練財源

一般の技術移行は、例えば、

k_{i,t+1}=(1-\delta_i)k_{i,t} +\ell_i(y_{i,t},H_t,k_{i,t}) +\sum_{r\ne i}\sigma_{ir}\ell_r(y_{r,t},H_t,k_{r,t}) +I_{i,t}+\varepsilon_{i,t+1} \tag{4}

と表せる。y_i は随伴の実施、\ell_i は直接学習、\sigma_{ir} は波及、I_i は開発投資である。

収入と訓練基盤の移行を、

R_t=\sum_i P_{i,t}, \qquad H_{t+1}=\rho H_t+\kappa R_t \tag{5}

とする。P_i は実際に参加する企業の入札支払または確定時参加費である。政府の当期評価を、

u_G=D(\mathbf k_t,H_t)-C(a_t,\mathbf y_t,\mathbf z_t) \tag{6}

とする場合、収入を式（6）に再度加えない。第5節・第6節の縮約モデルでは、訓練財源の便益を線形の当期項として表すが、第7節では式（5）を通じて評価する。

企業利益には輸出市場での競争を含められる。資金制約を扱う場合には、支払・実参加費用・投資が利用可能資金を超えない条件を課す。支払意思額と支払能力は一致しない。本稿の具体計算では企業投資・資金制約・全社の技術移行を同時には解かず、対象企業の学習に絞った縮約形を用いる。

3.4 均衡と政策比較

公開状態と毎期独立な私的費用に依存するマルコフ戦略を用いる。政府は当期政策を選び、企業は参加受諾・入札の最適反応を行う。政府が政策を1期だけ変更する比較では、将来の同じ均衡継続価値を用いる。

均衡が複数存在する場合、制度比較には継続均衡の指定が必要である。ある制度では最良の均衡、別の制度では最悪の均衡だけを採用する比較は、制度と均衡選択の効果を混同する。

固定された継続均衡に対する留保枠変更 a\to\tilde a の評価差は、

\begin{aligned} \Delta Q_G(S) ={}&-\Delta\mathbb E[C]\\ &+\beta_G\{ \mathbb E[W(S'_{\tilde a})]-\mathbb E[W(S'_a)] \} \end{aligned} \tag{7}

である。当期防衛便益が政策で直接変わる場合は、その差も加える。両期待値は、それぞれの政策に対して企業が入札・受諾を変えた後の分布で評価する。

資金制約を省いて状態を (\mathbf k,H) とし、微小な変更について W が微分可能なら、

\Delta Q_G \simeq-\Delta\mathbb E[C] +\beta_G\mathbb E[ \nabla_{\mathbf k}W\cdot\Delta\mathbf k +\kappa W_H\Delta R] \tag{8}

となる。業種別枠の価値は、当該業種と波及先の技術の影の価値、および増減する訓練財源の影の価値を比較する。1枠の離散的変更には式（7）を用い、式（8）を厳密な閾値と解釈しない。

4. 同質企業の基準ケース

4.1 仮定

企業数を N、総枠数を M<N、抽選枠数を K\le M とする。各社の参加による増分価値は d-z_i、z_i は c>0 として独立に U[0,c] に従う。総枠数が固定されているとき、非参加基礎利得は各社共通の \pi^L である。

本節では収入が企業の継続利得を変える財政外部性を置かず、将来の追加抽選もない。抽選は先行し、参加費を f とする。0\le f\le d-c と仮定すれば、全タイプが打診を受けたときに参加を承諾する。

残余入札では、弱支配戦略の入札 d-z_i を選ぶ均衡を用いる。L=M-K、n=N-K と置く。

4.2 期待収入・企業利得・実参加費用

命題1（同質企業での抽選先行配分）。 上記の仮定の下で、企業1社の事前期待利得、政府収入および実参加費用の合計は、

V_K=\pi^L+\frac K N\left(d-f-\frac c2\right) +\frac{c(M-K)(M-K+1)}{2N(N-K+1)}, \tag{9}

R_K=Kf+(M-K)\left[d-\frac{c(M-K+1)}{N-K+1}\right], \tag{10}

C_K=\frac{Kc}{2} +\frac{c(M-K)(M-K+1)}{2(N-K+1)} \tag{11}

である。K=M の残余入札項は0とする。

証明。 抽選当選確率は各社 K/N で、当選者の費用の期待値は c/2 である。残余の n 社では費用の低い L 社が落札し、各落札者は d-z_{(L+1:n)} を支払う。一様分布の順序統計量から \mathbb E[z_{(r:n)}]=cr/(n+1) である。残余入札の落札者の合計余剰は \sum_{r=1}^L(z_{(L+1:n)}-z_{(r:n)}) となり、その期待値を当初の N 社で割ると式（9）の最終項を得る。収入と費用の合計について同じ順序統計量を用いれば式（10）（11）が従う。\square

系1（財源と選別の費用）。 K>0 なら、

C_K-C_0 =\frac{cK(N-M)(N-M+1)} {2(N+1)(N-K+1)}>0, \tag{12}

R_0-R_K =K(d-f-c) +\frac{cK(N-M)(N-M+1)} {(N+1)(N-K+1)}>0. \tag{13}

全員受諾を保証する料金範囲では、抽選は高費用企業も選ぶため実参加費用を増加させ、所与の価格方式の期待収入を低下させる。本節には抽選の財源上の優位はない。

この結果は、企業の学習効果が同じで、費用の低さによる選別だけが配分を差別化するケースについてのものである。業種間の補完性や育成の外部便益は、次節以降で加える。

4.3 定額参加費が残す限界便益

共通価値 d(H) と基礎利得 \pi^L(H) を訓練水準の関数とし、c を固定する。全員受諾が維持される領域で式（9）を微分すると、

\frac{\partial V_K}{\partial H} =(\pi^L)'(H)+\frac K N[d'(H)-f'(H)]. \tag{14}

定額料金なら f'=0 で、抽選当選時の学習価値の増加が企業に残る。価値増加に追随して料金を引き上げれば、その限界便益の一部を政府へ移す。ただし、本式は実現収入が次期 H を変える入札ゲームの解ではない。第7節ではその財政外部性を明示的に扱う。

5. 異質な業種と配分方式

5.1 二業種・三企業の静学ベンチマーク

業種Aに2社、業種Bに1社があり、当期の随伴価値はA社が a、B社が b で、

0<f<b<a \tag{15}

とする。本節の企業は当期利得だけを考え、実参加費用は0である。総枠数は2。私的価値と公共的な技術価値は別に定める。

両方がA社に配分される場合をAA、一社ずつならABとする。公共的技術水準は X,Y で、各随伴による増分を1とする。次期の能力指標を、

F(X,Y)=\sqrt{XY} \tag{16}

と置く。したがって、AAでは F_{AA}=\sqrt{(X+2)Y}、ABでは F_{AB}=\sqrt{(X+1)(Y+1)} である。ABの能力が高い条件は X+1>Y であり、B業種への配分が、既存の技術構成における補完的な不足を埋める場合に当たる。

抽選先行で K=1 なら、B社が当選する確率は 1/3。このとき残余入札にはA社2社が残り、落札価格は a となる。A社が当選すれば残余入札の価格は b である。このため、

\begin{array}{c|c|c} K & \Pr(AB) & R_K\\ \hline 0&0&2b\\ 1&1/3&f+(a+2b)/3\\ 2&2/3&2f \end{array} \tag{17}

となる。異質性があると、抽選は低い価値の企業を先に退出させ、残余入札の競争を強める場合がある。

命題2（抽選併用が収入を増やす条件）。 本節の価格方式では、

R_1>R_0\quad\Longleftrightarrow\quad a+3f>4b. \tag{18}

これは第4節と矛盾しない。第4節の同質企業と異なり、残余入札の限界的な競争相手の構成が変わるためである。

5.2 業種別留保と一様抽選の違い

B業種に1枠を留保し、参加費 f で配分する。B社は1社しかいないため、この枠は当該企業への参加承諾付きの割当てとなる。残るA業種1枠をA社2社の入札で配分すれば、

\Pr(AB)=1,\qquad R_{\text{留保}}=a+f. \tag{19}

である。

命題3（固定価格方式の下での業種別留保）。 F_{AB}>F_{AA} のとき、式（19）の業種別留保は、抽選先行の一様抽選1枠に対して、公共的能力の期待値と収入の両方で優る。

証明。 ABの確率は 1 と 1/3 である。また、

R_{\text{留保}}-R_1=\frac23(a-b)>0. \tag{20}

したがって両指標で厳密に優る。\square

この命題では、業種区分が検証可能であり、B社が留保対象として適格であると仮定している。留保対象を偽る行動や、複数業種にまたがる企業の分類は扱っていない。また、A社の余剰が減るため、すべての参加企業にとってのパレート改善ではない。

5.3 順序と最低入札価格の比較

入札を先に1枠、敗者間の一様抽選を後に1枠実施すると、落札できなかった企業は確率 1/2 で料金 f の抽選枠を得る。その外部選択肢を差し引いた入札価値は、価値 v の企業について (v+f)/2 である。したがってA社が入札で落札し、

\Pr(AB)=\frac12,\qquad R_{\text{入札先行}}=\frac{a+3f}{2} \tag{21}

となる。抽選の順序を変更すると、当選確率だけでなく入札額も変わる。

さらに、全体入札に共通最低価格 a を設定する比較を置く。A社は当期利得0で参加し、同額なら参加を選ぶとする。A社2社へ配分され、収入は 2a となる。これは最低価格を0とした全体入札とは別の制度である。

X=4,Y=1,a=3,b=1,f=0.9 とし、単期評価を \mathbb E[F]+R とすると、表1を得る。

表1　異質な業種における制度・順序・最低価格の比較

留保枠は最低価格0の全体入札に対して両指標を改善するが、この単期評価では最低価格 a の制度に敗れる。公共的能力の重みを \omega、収入の重みを1とすれば、

\omega(F_{AB}-F_{AA})>a-f \tag{22}

のときに留保枠が最低価格 a の制度にも優る。この例の閾値は \omega>2.9462 である。これは比較した制度間の順位であり、すべてのメカニズムに対する最適性の主張ではない。

5.4 公共的な継続価値を含む配分閾値

企業が当期利得だけを考える本節の設定を維持し、政府だけが次期以降の価値を考える。AAとABの公共的な現在価値差を、

D_t=\omega(F_{AB}-F_{AA}) +\beta_G[W_{t+1}(S_{AB})-W_{t+1}(S_{AA})] \tag{23}

とする。収入の限界評価を \nu>0 とすると、抽選先行の K=1 が K=0,2 の両方に対して最適である条件は、

\boxed{ \nu(4b-a-3f)\le D_t\le\nu(a+2b-3f) } \tag{24}

である。下限より小さければ入札のみ、上限より大きければ抽選2枠が選ばれる。証明は各配分のAB確率差 1/3 と式（17）の収入差を比較すればよい。

式（24）は企業の将来の抽選機会を含まない。次節では企業自身も長命にし、当期の受諾価値を内生化する。

6. 再訓練と将来の抽選機会

6.1 二状態の動学ゲーム

A社2社は短命、B社は長命とする。総枠数は2で、政府は毎期 K=0,1,2 を選び直す。参加費 f は固定する。B社の状態は未育成E、育成済みGである。

EでB社が参加すれば次期Gとなる。Gでは当期参加に関係なく確率 \delta で次期Eへ戻る。Eから新たにGへ移る同じ遷移では追加の陳腐化を起こさない。B社の費用 z は各期独立に U[0,c] から私的に実現する。

企業パラメータを、

(a,b_E,b_G,c,f,\beta_F,\pi_E,\pi_G) =(3,1,1.4,0.4,0.5,0.9,0,0.02) \tag{25}

とする。\pi_s は非参加でも得る基礎利益、b_s-z は当期参加による増分価値である。企業は参加費を支払える資金を持つとする。

本節では訓練財源の当期公共便益を収入1単位につき1と評価する。状態Gの追加公共便益は0.1、Eは0であり、B社の実参加費用は差し引く。政府の割引因子も0.9とする。訓練ストックはまだ導入しない。

GではB社の残余入札価値は 1.4-z<a で、参加が次期の陳腐化を変えない。入札2枠の収入は2.4、政府の当期便益は、

r_G=0.1+2.4=2.5. \tag{26}

Gにおける K=1,2 はこれを下回るため、Gでは K=0 が最適である。

6.2 受諾閾値の一意性

EにおけるB社への打診確率を p とする。純粋政策では p=K/3。B社の価値を V_E,V_G とすると、受諾閾値は、

t=b_E-f+\beta_F(V_G-V_E). \tag{27}

\mathcal F(t)=\Pr(z\le t)、\Psi(t)=\mathbb E[(t-z)_+] と置く。一様分布では、

\Psi(t)= \begin{cases} 0,&t\le0,\\ t^2/(2c),&0<t<c,\\ t-c/2,&t\ge c. \end{cases} \tag{28}

命題4（固定打診確率に対する受諾閾値）。 A_\delta=1-\beta_F+\beta_F\delta とすると、閾値は、

\boxed{ A_\delta t+\beta_Fp\Psi(t) =A_\delta(b_E-f)+\beta_F(\pi_G-\pi_E) } \tag{29}

の一意解である。内点では、

t= \frac{2Q_\delta} {\sqrt{A_\delta^2+2\beta_FpQ_\delta/c}+A_\delta}, \quad Q_\delta=A_\delta(b_E-f)+\beta_F(\pi_G-\pi_E). \tag{30}

証明。 ベルマン方程式は、

\begin{aligned} V_E&=\pi_E+\beta_FV_E+p\Psi(t),\\ V_G&=\pi_G+\beta_F[(1-\delta)V_G+\delta V_E]. \end{aligned} \tag{31}

差を取り、式（27）を代入すれば式（29）となる。左辺の t に関する微分は A_\delta+\beta_Fp\mathcal F(t)>0 であり、連続性と両端の挙動から解は一意である。内点の二次方程式を解くと式（30）を得る。\square

p の増加は条件付き受諾閾値を下げる。育成すると将来の抽選機会を失うため、頻繁な打診は未育成状態に残る価値を高めるからである。ただし実参加確率は h=p\mathcal F(t) であり、受諾閾値の低下だけから育成確率の低下は導けない。

陳腐化の比較静学は、

\frac{\partial t}{\partial\delta} =\frac{\beta_F[(b_E-f)-t]} {A_\delta+\beta_Fp\mathcal F(t)}. \tag{32}

符号は一般には一定でない。本節の K=1,2 では t<b_E-f なので、陳腐化が強いほど受諾閾値が上がる。育成後にも未育成状態へ戻るため、失われる抽選機会の期間が短くなる。

6.3 収入と政府の最適反応

Eにおける残余入札価値は \theta-z、\theta=f+t である。以下の数値領域では c<\theta<a であり、B社は残余入札に勝たない。\bar v_B=\theta-c/2、J(t)=\mathbb E[z\,1\{z\le t\}] とすると、

\begin{aligned} R_0&=2\bar v_B,\\ R_1&=f+\bar v_B+\{(a-\theta)\mathcal F(t)+J(t)\}/3,\\ R_2&=2f. \end{aligned} \tag{33}

政府の当期純便益は g_K=R_K-C_K、費用は C_0=0,C_1=J/3,C_2=2J/3 である。内点では、

\begin{aligned} g_0&=2f+2t-c,\\ g_1&=2f+t-c/2+(a-f)t/(3c)-t^2/(3c),\\ g_2&=2f-t^2/(3c), \end{aligned} \tag{34}

h_0=0,\qquad h_1=t/(3c),\qquad h_2=2t/(3c). \tag{35}

均衡政策における平均当期便益と実参加確率を \bar g,\bar h とすると、

\Delta W=W_G-W_E =\frac{r_G-\bar g}{1-\beta_G+\beta_G(\bar h+\delta)}. \tag{36}

当期だけ政策を j に変更する価値は、

Q_j=g_j+\beta_G[W_E+h_j\Delta W]. \tag{37}

である。政策を永久に変更した別の企業価値を式（37）に混在させない。

6.4 均衡の共存と陳腐化

K=1 と K=2 を混ぜる政策について、p\in[1/3,2/3]、K=2 の選択確率を m=3p-1 とする。式（29）から得る t(p,\delta) で、次を定義する。

$$ \Lambda_\delta(p)

2g_1-g_2+ \frac{1-\beta_G+\beta_G\delta}{\beta_Gh_1} (g_1-g_2). \tag{38} $$

命題5（二つの配分政策の共存条件）。 内点かつ a>f の領域で、K=0 が最適応答にならないとする。このとき、

\begin{aligned} K=1\text{ が定常均衡} &\iff r_G\le\Lambda_\delta(1/3),\\ K=2\text{ が定常均衡} &\iff r_G\ge\Lambda_\delta(2/3). \end{aligned} \tag{39}

\Lambda_\delta(p) は狭義減少であり、

\Lambda_\delta(2/3)<r_G<\Lambda_\delta(1/3) \tag{40}

なら、二つの純粋政策均衡に加え、両政策をランダム化する定常均衡が一つ存在する。証明は付録Aに示す。

式（25）のパラメータと 0\le\delta\le0.03 では、A社の抽選受諾条件、B社が残余入札に勝たない条件、および K=0 が最適応答にならない条件を確認できる。残余入札で弱支配戦略の入札を選ぶこの均衡クラスについて、表2を得る。

表2　陳腐化と定常均衡

共存範囲の端点は、

\delta^*\simeq0.0278307 \tag{41}

である。\delta=0.03 では、K=2 および両政策を混ぜる定常均衡がこのクラスから消える。K=1 の継続価値に揃えた当期逸脱比較は、Q_0=21.3514、Q_1=22.3312、Q_2=22.0388 であり、政府が毎期選び直しても併用制度を維持できる。

\delta=0 では、K=1 の W_E は22.5592、K=2 は21.6522で、前者の政府価値が高い。しかし両方が逐次合理的である。ランダム化均衡の K=2 選択確率は約0.5407、W_E は21.8866となる。政府価値の高い均衡が存在することだけでは、低い均衡が除去されるわけではない。

6.5 長期育成比率と財源の分離

\delta>0 の二状態連鎖では、定常的な育成済み比率は、

\mu_G=\frac{h}{h+\delta}. \tag{42}

\delta=0.01 の二つの純粋政策均衡を比較すると、表3となる。

表3　共存する均衡の長期指標

抽選2枠は条件付き受諾率が低い一方、打診機会が多く、育成済み比率は高い。併用制度は財源と政府価値で優る。この例には、すべての指標を同時に最大化する政策はない。

\delta=0 では、どちらの純粋政策でも最終的にGへ移る確率は1である。その場合の制度差は割引された移行過程の差であり、異なる定常育成比率の差とはいえない。陳腐化を導入すると、再訓練を繰り返す制度として長期指標を比較できる。

6.6 期間付き改革とコミットメント

\delta=0 の K=2 均衡から、未育成の間だけ K=1 を n 期実施し、期間終了後は元の均衡へ戻す改革を考える。将来の企業価値と政府価値を後ろ向きに更新すると、n=1 の政府価値の変化は -0.06161、n=2 は +0.00848、n=5 は +0.41568、n=10 は +0.79578 となる。

2期以上の約束が政府価値を改善しても、最終実施期の政府には元の K=2 へ戻す誘因が残る。したがって、この改革計算には実施期間へのコミットメントが必要である。単なる発表で同じ結果を実装できるとはいえない。また、元の均衡へ戻すという終端条件なので、恒久的な均衡移行の証明でもない。

7. 訓練財源の蓄積と参加費の選択

7.1 有限期間のモデル

本節では式（5）を導入し、H を公開状態に加える。A社2社は短命、B社は長命で、当期随伴価値は前節と同じ a=3,b_E=1,b_G=1.4、費用は U[0,0.4] である。陳腐化は \delta=0.03、割引因子は双方0.9とする。

訓練ストック、B社の基礎利益、防衛便益を、

\begin{aligned} H'&=0.8H+0.2R,\\ \pi_s(H)&=0.05H+0.02s+0.05sH,\\ D_s(H)&=H(1+\omega s) \end{aligned} \tag{43}

と置く。s=0 がE、s=1 がGである。\pi_s は輸出利益の縮約形であり、輸出数量や全社の開発投資を別途最適化した利潤ではない。

政府の当期利得は D_s(H)-z\,1\{\text{B参加}\}。収入は H' を形成するために使い、当期利得には加えない。A社の実参加費用は0とする。

政府の選択は K=0,1,2 と 0\le f\le1.5 である。配分8回の後に終端価値、

V_T(s,H)=\pi_s(H),\qquad W_T(s,H)=D_s(H) \tag{44}

を置く。初期状態は (E,H=1)、基準例は \omega=1。入札額は非負であり、同額ではA社を優先する。A社が参加に無差別なら参加を選ぶ。

7.2 敗者による財源操作

B社が残余入札に勝たない場合、A社だけが落札し、B社の入札 x は、

R=Kf+(2-K)x \tag{45}

を通じて次期の訓練水準を変える。非参加の期待継続価値を \bar V_{s,t+1}(H') とすると、

\frac{\partial U_B^{L}}{\partial x} =\beta_F\kappa(2-K)\bar V_{s,t+1}'(H'). \tag{46}

命題6（財源還流と敗者入札）。 落札しない範囲で \bar V_{s,t+1} が訓練水準に関して狭義増加なら、B社はその範囲で入札額を上げる誘因を持つ。したがって、その範囲内の静学的な参加価値を入札する戦略は最適反応ではない。

証明は式（46）の符号による。これは勝者が自分の支払を変更する効果とは別に、敗者が他社の支払を動かす効果である。Vickrey（1961）[vickrey1961]の独立私的価値の条件を、このゲームにそのまま当てはめることはできない。

数値計算では、敗者としての入札を、

x^*\in\arg\max_{0\le x\le a} \bar V_{s,t+1}\bigl(\rho H+\kappa[Kf+(2-K)x]\bigr) \tag{47}

から求める。その後、a を超えて落札する逸脱の利得と比較する。同額でA社を優先するため x=a でもB社は落札しない。同額規則を変更する場合は、この端点での逸脱を再検証する必要がある。

本稿の計算範囲では、最も有利な費用 z=0 でも、落札へ転じる利得差は負である。したがってB社が残余入札に勝たない均衡クラスの中で解を構成できる。

7.3 抽選の受諾と政府の再帰式

参加時・非参加時の期待継続価値を \widetilde V_s^Y,\widetilde V_s^N とする。Eなら参加後はG、非参加後はE。Gなら両方とも陳腐化を織り込んだ同じ混合である。

K=1 の次期訓練水準は、

H_A=\rho H+\kappa(f+x^*),\qquad H_B=\rho H+\kappa(f+a). \tag{48}

B社の受諾閾値は、

t_1=b_s-f+ \beta_F[\widetilde V_s^Y(H_B)-\widetilde V_s^N(H_A)]. \tag{49}

K=2 では H_A=H_B=\rho H+2\kappa f とし、同じ差を用いる。h_K=(K/3)\mathcal F(t_K) とすると、B社の価値は、

V_t(s,H)=\pi_s(H) +\beta_F\widetilde V_s^N(H_A) +\frac K3\Psi(t_K). \tag{50}

政府の候補政策の価値は、

\begin{aligned} Q_t(s,H;K,f) ={}&D_s(H)-\frac K3J(t_K)\\ &+\beta_G\{ (1-h_K)\widetilde W_s^N(H_A) +h_K\widetilde W_s^Y(H_B) \}. \end{aligned} \tag{51}

K=0 では抽選項を0とし、非参加継続価値だけを用いる。政府は各状態で式（51）を最大化する。企業と政府の将来価値は同じ次期の政策から計算する。

式（51）は、B社が当選したときの学習と財源の相関を維持する。一般に、期待収入だけから単一の平均訓練水準を作り、そこに継続価値を代入しても同じ値にならない。

7.4 計算方法と逸脱条件

R\le2a=6 なので、0\le H\le6 は不変区間である。訓練ストックを格子化し、次期価値を線形補間する。式（47）は、到達区間の端点と区分線形関数の折点をすべて比較して大域的に解く。費用の分布積分は式（28）と J により解析的に評価する。

各状態・候補政策で、次を検証する。

1. B社が a を超えて入札し、落札する利得。最高の費用条件 z=0 で不利なら全タイプで不利である。
2. A社が抽選を辞退し、残余入札に回る利得。打診・辞退履歴が非公開という情報構造に対応する条件付き期待値を用いる。
3. 政府が当期だけ K,f を変える価値。将来価値を固定して全候補を比較する。

残余入札でのB社の敗者入札が費用に依存しないため、K=1 のA社の辞退利得は、

U_A^{\text{辞退}} =(a-x^*)\frac{3-2\mathcal F(t_1)} {3-\mathcal F(t_1)} \tag{52}

である。受諾利得 a-f と比較する。K=2 では辞退後に入札枠がないため、辞退利得は0となる。

これは連続状態ゲームの厳密解ではない。格子上の最適反応と補間された継続価値による数値近似である。全状態の連続的な逸脱誤差上界や、無限期間の均衡の存在・一意性は本計算から主張しない。

7.5 制度比較

固定併用制度はEで K=1,f=0.5、固定抽選制度はEで K=2,f=0.5 を使い、Gでは両方とも入札2枠とする。固定制度ではその制約の下で企業の入札と受諾を解き直す。政策を自由に変更できる政府の均衡であるとは主張しない。

表4　訓練財源を蓄積させた8回配分の比較

入札のみは訓練ストックを高く維持する一方、B社を育成しない。基準例では技術と訓練に補完性があるため、育成と財源確保を組み合わせる政策の政府価値が高い。

内生政策は、初期に K=2,f=1.2625 を選ぶ。B社の受諾閾値は約0.40085で、当選時の受諾率は100%である。現在の価値 b_E=1 より高い参加費を支払えるのは、将来の基礎利益増加が参加価値に含まれるためである。ただし、資金制約がないという本節の条件に依存する。

Gでは計算した全状態・全残り期間で K=0 が選ばれる。Eでは状態と残り期間によって政策が変わる。基準格子の H=1 では、残り1回は入札2枠、2回は入札1枠＋抽選1枠、4回・8回は抽選2枠となる。

企業に残る利得も異なる。政府が料金を選ぶと、固定抽選のB社価値1.8436に対して1.2205となる。政府価値の増加は、企業の利得も最大化するという意味ではない。

7.6 格子細分化と補完性の感度

表5　内生政策の格子細分化

最後の細分化による政府価値の差は約0.03138である。これは連続モデルに対する厳密な誤差上界ではない。初期配分は維持され、料金は約1.26へ近づく。

最細格子では、全候補政策におけるB社の落札逸脱利得差の最大値は約 -0.8480、A社の受諾利得から辞退利得を引いた差の最小値は約1.1400である。基準および細分化した全計算で、これらの条件違反による候補政策の除外数は0であった。

粗い格子で公共的補完性だけを変えると、\omega=0.1 の初期政策は入札2枠、\omega=0.2,0.35 は入札1枠＋抽選1枠となる。これらの比較でも全候補政策の逸脱条件を確認した。表4の抽選2枠という初期選択は、補完性の強さに依存する。

終端G確率は、無限期間の定常育成済み比率ではない。第6節の定常分析と本節の有限期間分析は、目的関数・企業基礎利益・財源の扱いが異なるため、数値を一つのパラメータ実験として連結しない。

8. 業種別枠の設計への含意

業種別留保を評価するためには、少なくとも三つの価格を区別する必要がある。第一は企業の私的な支払意思額、第二は装備体系への直接・波及学習の公共的な限界価値、第三は失う訓練財源の公共的な限界価値である。

輸出機会が乏しい業種は、私的価値が小さいために入札だけでは学習機会を得にくい。しかし、その業種の能力が他の装備の運用を制約しているなら、公共的な学習価値は高くなり得る。式（7）は、その利得が財源と実参加費用の変化を上回るかを評価する条件となる。

一様抽選は、業種構成の保証にはならない。対象企業数が多い業種は抽選でも選ばれやすい。業種構成を直接制御するには、業種ごとの総枠数、業種内抽選、過去の参加履歴による抽選対象の変更などを区別する必要がある。

育成済み企業を抽選対象から外す制度には、未育成状態に残る私的価値を高める効果がある。第6節は、状態が外生的に観測可能であっても受諾抑制が生じることを示した。育成状態を企業の自己申告に頼る場合は、成果を隠す行動も加わるが、本稿はその誘因を解いていない。

また、収入を訓練へ還流する場合、入札方式を固定してから枠数だけを最適化しても、制度全体の最適性は得られない。第5節の最低価格と順序の比較、および第7節の敗者による財源操作は、その点を別の経路から示す。

制度の運用では、状態ごとの配分変更を事前に公表できることと、その規則を政府が後から変更したくならないことを区別すべきである。有限期間のコミットメントと、毎期最適な状態依存政策は異なる実装条件を持つ。

9. 分析範囲と限界

本稿の一般枠組みは、全企業の技術投資、輸出市場、資金制約、業種間波及および訓練財源を含められる。しかし、これらをすべて同時に内生化した動学ゲームの一般解は提示していない。解析結果は各節の特殊ケースの仮定に依存する。

第4節は同質企業の全員受諾領域、第5節は当期利得だけを考える企業、第6節は一社の長命企業を持つ二状態モデル、第7節は短命A社と長命B社の有限期間モデルである。これらは同一モデルの段階的な一般解ではなく、制度の異なる作用を分離するベンチマークである。

第5節の技術的補完性は能力指標として与え、第7節の輸出利益も縮約形である。学習速度、知識波及、技術陳腐化および訓練手当の効果は、現場データから推定していない。第7節の数値を予算規模や随伴人数へ直接換算することはできない。

適格性、業種区分、技術状態を公開状態として扱う。偽装応募、関連会社を通じた抽選確率の操作、談合、制度形成への働きかけ、技術成果の秘匿、政府の情報劣位は含まない。部隊側の訓練選択や随伴負担は、一般枠組みの制約・費用には置けるが、具体的なゲームとしては解いていない。

連続入札の同額処理は均衡の存在に影響し得る。第7節の端点入札はA社優先の規則に依存する。第6節では残余入札で弱支配戦略の入札を選ぶ均衡クラスを分析し、他の弱い入札均衡まで列挙していない。

これらの範囲内で、本稿は「抽選や業種別留保は常に望ましい」という結論を与えない。同質企業では費用と財源の損失が生じる。異質性や補完性があると留保の価値が生じるが、価格方式と比較対象によって順位が変わる。長期的な育成比率、訓練財源、政府価値および企業利得も一致しない。

10. 結論

随伴技術者枠の制度設計は、学習機会の配分と、その学習基盤の資金調達を同時に扱う問題である。業種別留保は学習構成を、抽選は対象集団内の配分機会を制御するが、どちらも入札競争と参加誘因を変える。

同質企業の基準モデルでは、抽選は費用選別を弱め、全員受諾を保証する料金の下で期待収入を低下させる。異質な業種を含む場合には、保護対象を先に割り当てることで残余入札の競争が強まり、能力と収入を同時に増やすことがある。ただし、最低価格や順序を変えた制度との比較を欠くと、その効果を過大に評価する。

長命の企業は、将来の抽選機会を失うことも現在の参加判断へ織り込む。その結果、条件付き受諾率の低下と、政策の異なる複数均衡が生じる。技術更新による再訓練はこの価値を変え、定常的な育成比率と財源の比較を可能にする。

訓練財源を蓄積状態にすると、敗者の入札にも将来の基盤を動かす誘因が生じる。所与の同額規則と価格方式の下で解いた有限期間例では、初期の育成と育成後の入札による財源確保を組み合わせる状態依存政策が、固定制度より高い政府価値を生む。

業種別枠の設計に必要なのは、企業の入札額だけによる順位でも、一律の抽選割合でもない。各業種と波及先の学習価値、訓練財源の価値、参加受諾および継続均衡を含む比較である。

付録A. 共存条件の証明と受諾条件

A.1 政府の無差別条件

K=2 を選ぶ確率を m=3p-1 とし、d_g=g_1-g_2 と置く。このとき、

\bar g=2g_1-g_2-3p\,d_g,\qquad \bar h=3p\,h_1. \tag{A1}

Q_1=Q_2 は d_g=\beta_Gh_1\Delta W と同値である。式（36）を代入すると、3p\,d_g を含む項が相殺され、

r_G=2g_1-g_2+ \frac{1-\beta_G+\beta_G\delta}{\beta_Gh_1}d_g =\Lambda_\delta(p) \tag{A2}

となる。純粋政策の端点で同じ差を評価すると式（39）を得る。

A_0=1+(a-f)/(3c)、A_G=1-\beta_G+\beta_G\delta とすると、

\Lambda_\delta(t) =2f-c+2A_0t-\frac{t^2}{3c} +\frac{A_G}{\beta_G} \left(3cA_0-\frac{3c^2}{2t}\right). \tag{A3}

したがって、

\frac{d\Lambda_\delta}{dt} =2A_0-\frac{2t}{3c} +\frac{A_G}{\beta_G}\frac{3c^2}{2t^2}>0 \tag{A4}

である。一方、式（29）から、

\frac{\partial t}{\partial p} =-\frac{\beta_F\Psi(t)} {A_\delta+\beta_Fp\mathcal F(t)}<0. \tag{A5}

よって \Lambda_\delta(p) は狭義減少し、式（40）を満たすとき内部の無差別点は一つである。

A.2 入札のみの政策の除外

式（25）と 0\le\delta\le0.03、0\le p\le2/3 では t\le0.68、\theta\le1.18 である。内点では、

g_1-g_0=0.2+\frac{13}{12}t-\frac56t^2>0. \tag{A6}

全員受諾領域では、

g_1-g_0=1.7-\frac43\theta\ge0.1266\ldots>0. \tag{A7}

また、g_0\le1.96、g_1\le2.0867、g_2\le1 であり、いずれの候補当期純便益も r_G=2.5 を下回るため、式（36）の \Delta W は正である。h_1>h_0=0 より Q_1>Q_0 となり、K=0 を含む支持は除外できる。

A.3 A社の抽選受諾

B社の残余入札が v_B(z)=\theta-z>0 のとき、

P=\mathcal F(t),\qquad S=(a-\theta)P+J(t),\qquad A=a-\theta+c/2

と置く。A社が打診を受ける確率は (3-P)/6 である。打診・辞退履歴が非公開の場合、その情報集合での辞退利得は、

U_A^{\text{辞退}}=\frac{3A-2S}{3-P}. \tag{A8}

初回にA社が打診される場合と、B社が先に辞退してから打診される場合を、各履歴の確率で重み付けすれば得られる。式（25）の候補均衡では a-f>U_A^{\text{辞退}} を満たす。K=2 では残余入札枠がないため、辞退利得は0である。

付録B. 期間付き改革の再帰式

\delta=0 の元の K=2 均衡の価値を V^{(0)},W^{(0)} とする。Gの継続価値は V_G=0.2,W_G=25 である。残り改革期間が n 期のとき、

t_n=b_E-f+\beta_F[V_G-V^{(n-1)}], \tag{B1}

V^{(n)} =\beta_FV^{(n-1)}+\frac13\Psi(t_n), \tag{B2}

W^{(n)} =g_1(t_n)+\beta_G\left[ \left(1-\frac{\mathcal F(t_n)}3\right)W^{(n-1)} +\frac{\mathcal F(t_n)}3W_G \right]. \tag{B3}

この再帰式から第6.6節の値を得る。n\to\infty では K=1 均衡の政府価値22.5592へ収束し、元の均衡との差は約0.9070となる。ただし、有限期間の約束の実施可能性や恒久的な均衡選択を、この価値計算だけで保証するものではない。

付録C. 数値計算の再現手順

再現資料には、訓練ストックモデルの計算、解析解による検証、補完性の感度比較、表1から表3・期間付き改革を再計算するスクリプト、および実行済み結果を含める。

中心となる計算は dynamic_training_game.py、1回配分の解析解との32件の照合は verify_training_game.py、補完性の比較は run_sensitivity.py である。analytic_benchmarks.py は同質企業の公式、異質業種の制度比較、二状態均衡と改革の数値を再現する。

Pythonとnumpyを使用し、解析ベンチマークの根の計算にはscipyを用いる。通常の動学計算は、訓練刻み0.02・料金刻み0.05から開始し、表5の二つの細分化を追加する。再現資料内の結果には、全候補政策の逸脱条件違反数と初期ベルマン残差を収録する。

計算コードは、B社が入札で勝つ逸脱やA社の辞退が有利となる候補政策を検知する。その検知数が正のパラメータ変更については、本稿で検証した均衡クラスから外れるため、その出力を全行動空間の均衡と解釈してはならない。表4・表5と報告した補完性比較では検知数は0である。

同額規則、終端価値、陳腐化のタイミング、料金上限、抽選先行という順序を変更すれば、別のゲームになる。再現にはこれらの制度仕様も必要である。

参考文献

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