随伴技術者枠の競争的配分と訓練財政

技術蓄積・輸出競争・財政外部性を伴う動学的入札の理論分析

作成日：2026年10月17日

要旨

企業の技術者が訓練へ随伴する機会を競争入札によって配分し、その収入を将来の訓練基盤へ還流させる制度を考える。随伴は企業の技術を改善する一方、競合企業の成長、将来の入札価格、訓練基盤の資金調達を変える。本稿は、二企業・一随伴枠を基本単位として、有限期間の製品市場モデルと私的費用を伴うベイズ入札モデルを分析する。第一に、財政還流のない線形クールノーモデルでは、先行企業の技術進歩が総輸出数量を増やすと同時に、第二価格入札の収入を低下させる均衡を導く。二回の逐次入札では、先行企業は競合の技術改善を阻止する利益に加え、次回の落札費用の節約を現在の入札価値に織り込む。第二に、財政還流の企業利得への効果は、公共的な訓練基盤という性質だけでは決まらない。翌期も先行企業が随伴する領域では、追随企業への知識波及が弱いと、訓練財源の増加は追随企業の利得を低下させる。第三に、負の財政外部性を持つ線形ベイズモデルでは、対称単調均衡における第二価格方式の期待収入を明示的に求め、第一価格方式との収入順位を示す。さらに、任意に小さい正の私的費用の不確実性の下でも、一社が無料で随伴枠を獲得する非対称均衡が正の収入を生む対称均衡と共存する十分条件を示す。本稿の結果は、学習機会の競争的配分と、その供給基盤の持続可能性が必ずしも一致しないことを示す。無限期間における集中の持続、防衛力への総効果、制度の最適性については、一般モデルと検証条件を提示し、未解決の分析課題として区別する。

キーワード： 動学的オークション、配分外部性、財政外部性、技術蓄積、知識波及、輸出競争、訓練財政、マルコフ完全均衡

1. 序論

現実の利用環境へのアクセスは、製品の改良や要求の発見に必要な学習機会を与える。軍事訓練への技術者の随伴も、その一例として考えられる。装備品メーカーだけでなく、通信、電源、医療、被服、食品などの企業が、現場の制約を観察し、利用者から情報を得て、技術を改良する可能性がある。他方、随伴者の受入れは、訓練の実施能力、受入れ負担、情報管理上の制約によって制限される。

本稿は、この希少な随伴機会を企業へ販売し、その入札収入を訓練基盤へ還流させる仮想的制度を分析する。実在する制度の記述や実証評価ではなく、制度が生み得る誘因を明らかにする理論研究である。AI等によって開発作業の一部が低費用化しても、実環境へのアクセスが希少なまま残る可能性は、本研究の動機となる仮説であり、本稿が立証する将来予測ではない。

制度を静学的に見ると、随伴から最も利益を得る企業が高く入札し、その支払が訓練を支えるように見える。しかし、随伴機会を獲得した企業の技術が改善すれば、将来の製品市場と入札市場の双方が変化する。企業は自社の学習だけでなく、競合の学習を阻止する利益や、将来の落札価格への影響も考慮する。また、政府収入が翌期の訓練環境を変えるなら、企業は落札者の支払額そのものにも関心を持つ。

本稿の問いは、国家が企業の学習機会を競争的に販売し、その収入で将来の学習基盤を維持するとき、企業の技術進歩と、その基盤の持続可能性は両立するか、である。

分析の結論は、単純な「集中が収入を減らす」という一方向の命題にはならない。財政還流がない基準モデルでは、その経路を導ける。しかし、敗者も訓練基盤の充実から利益を得るなら、敗者が勝者の支払額を引き上げる誘因が生まれる。反対に、訓練基盤の充実が先行企業の学習を主に助けるなら、追随企業は政府収入の増加を嫌う。したがって、財政還流の符号と均衡選択を、学習機会の将来の配分から分析する必要がある。

本稿は三段階で議論する。まず、製品市場を明示した有限期間モデルから、技術進歩、入札収入、逐次入札の関係を導く。次に、知識波及と将来の学習量を通じて財政外部性の符号を内生化する。最後に、線形の財政外部性と私的費用を持つベイズ縮約モデルを解き、完全情報の結果が私的情報によってどこまで変わるかを分析する。

有限期間の解析、縮約モデルの均衡、無限期間への拡張は、証明の範囲が異なる。本稿では、無限期間の一般モデルを解いたとは主張しない。また、入札収入の減少から防衛力の低下を直接推論せず、装備技術の改善と訓練財源の変化を含む総効果の問題を別に扱う。

2. 関連研究と本稿の位置づけ

第一の関連領域は、配分外部性を伴うオークションである。[jehiel1996]は、誰が財を獲得するかによって非獲得者の利得が変わる環境を分析する。随伴による競合企業の成長は、非落札企業の利潤を変えるため、この枠組みに属する。したがって、自社改善価値に競合成長阻止価値が加わること自体は、独立した新規性ではない。

第二の関連領域は、支払額から生じる外部性である。[ettinger2010]は、勝者の支払価格への選好を持つ入札者を分析し、支払方式がその外部性の作用を変えることを示す。[maaslandOnderstal2007]は、敗者が勝者の支払額を評価する環境で均衡を分析する。[goeree2005]は、収入から生じる正の外部性を伴う資金調達を扱う。本稿の負の財政外部性は、訓練財源の増加が将来の競合企業の学習を助けることから生じる。既存文献の正の外部性に関する収入順位を、そのまま本稿の負の外部性へ適用することはできない。

第三の関連領域は、技術や企業状態を内生化した動学的産業組織である。[doraszelskiSatterthwaite2010]は、動学的な産業競争の均衡と計算可能性を分析する。[asker2020]は、入札結果が企業状態を変える動学的オークションの計算枠組みを提示する。ただし、後者の中心には持続的な私的情報と経験に基づく均衡概念があり、本稿の公開技術状態と一時的な私的費用を用いる拡張とは情報構造が異なる。

有限割引確率ゲームの定常均衡の存在には[fink1964]が基礎を与える。[doraszelskiEscobar2010]の正則性・安定性・純化に関する分析は、均衡の複数性と摂動を考える上で重要である。ただし、連続入札額を持ち、同額時に利得が不連続となるオークションへ、有限ゲームの存在結果を無条件に移せるわけではない。

本稿の寄与として検討するのは、学習機会の配分が、製品市場、将来の落札費用、公共的な学習基盤の資金調達を結びつける構造である。以下の特殊ケースの解そのものについては、既存の財政外部性研究との命題単位の照合が必要であり、既存研究に対する新規性の確定は本稿の導出とは別の作業となる。

3. 基本設定と均衡概念

3.1 随伴枠と製品市場

同一の輸出市場で競争する企業を二社、各回の随伴枠を一枠とする。随伴枠は非負の入札額によって配分される。基準モデルでは資金制約、随伴の実物費用、参入・退出、再販売を省く。政府は入札方式と還流規則にコミットする。部隊の訓練選択や企業の制度形成への働きかけは内生化しない。

輸出市場の逆需要と限界費用を、

P=A-q_1-q_2,\qquad c_i=c-k_i

と置く。需要の傾きを1に正規化し、技術水準 k_i が限界費用を引き下げるとする。a=A-c、x_i=a+2k_i-k_j とおくと、両社が正の数量を生産するクールノー均衡は、

q_i=\frac{x_i}{3},\qquad \pi_i=\frac{x_i^2}{9},\qquad Q=q_1+q_2=\frac{2a+k_1+k_2}{3} \tag{1}

である。以下の有限期間の命題では、実現経路に加えて、逸脱評価に用いる反実仮想の配分でも内点条件を満たすとする。退出が生じる領域へ式（1）を外挿しない。

3.2 入札方式と継続価値

第二価格方式では最高入札企業が落札し、相手の入札額を支払う。第一価格方式では最高入札企業が自らの入札額を支払う。同額時の規則は結果ごとに明示する。

財政還流がない場合、状態 s から企業 i が落札した翌期状態を s^i、競合が落札した状態を s^j とする。継続価値を V_i、企業の割引因子を 0<\beta<1 とすると、配分価値差は、

W_i(s)=\beta[V_i(s^i)-V_i(s^j)] \tag{2}

である。二企業で、支払が将来状態を変えず、継続均衡が固定されているなら、式（2）を閾値として入札することが第二価格方式の最適反応となる。

本稿の財政還流のない有限期間モデルでは、各部分ゲームでこの閾値入札を選ぶ。これは均衡選択の指定であり、第二価格方式における全ナッシュ均衡の一意性を主張するものではない。

3.3 配分価値差の分解

どちらにも随伴による技術改善が生じない状態 s^0 を反実仮想として挟むと、

\begin{aligned} W_i(s) ={}&\underbrace{\beta[V_i(s^i)-V_i(s^0)]}_{A_i(s):\ \text{自社改善価値}}\\ &+\underbrace{\beta[V_i(s^0)-V_i(s^j)]}_{E_i(s):\ \text{競合成長阻止価値}}. \end{aligned} \tag{3}

競合の学習が自社に不利なら E_i>0 となる。自社改善価値を超える入札は、企業にとって合理的であり、そのことだけから社会的な過大入札とは評価できない。社会的評価には、技術改善、製品市場、訓練負担等を含める必要がある。

4. 財政還流のない有限期間モデル

4.1 一回入札：技術進歩と収入の乖離

第0期に随伴枠を配分し、落札企業の技術が \Delta>0 上昇する。第1期に輸出市場の数量競争を行い、それ以外の利潤や入札はないとする。知識波及はない。

企業 i の配分価値差は、

\begin{aligned} W_i &=\frac{\beta}{9}[(x_i+2\Delta)^2-(x_i-\Delta)^2]\\ &=\frac{\beta}{3}(2\Delta x_i+\Delta^2). \end{aligned} \tag{4}

命題1（先行企業の技術進歩と入札収入）。 k_1>k_2 とし、両配分で内点条件が成り立つとする。閾値入札均衡では企業1が落札する。企業2の技術とその他のパラメータを固定すると、企業1の技術進歩は総輸出数量を増やし、政府収入を減らす。

証明。 式（4）から、

W_1-W_2=2\beta\Delta(k_1-k_2)>0

である。したがって、政府収入と随伴後の総輸出数量は、

R=W_2=\frac{\beta}{3}[2\Delta(a+2k_2-k_1)+\Delta^2],

Q=\frac{2a+k_1+k_2+\Delta}{3}.

よって、

\boxed{ \frac{\partial Q}{\partial k_1}=\frac13>0, \qquad \frac{\partial R}{\partial k_1}=-\frac{2\beta\Delta}{3}<0. } \tag{5}

以上で示された。□

この結果は輸出拡大一般についての命題ではない。同じ領域で、追随企業の技術進歩 k_2\uparrow は数量と収入をともに増やし、海外需要の拡大 a\uparrow も両者を増やす。

命題1は、企業1が先行を維持する内点領域において、技術進歩の偏在による数量増加と入札収入の低下を結びつける。

4.2 二回入札：将来の落札費用の節約

第0期と第1期に一回ずつ入札し、各落札で技術が \Delta 上昇する。第2期にだけ輸出利潤が発生する。財政還流と知識波及はない。初期状態について、

g\equiv k_1-k_2>\Delta,\qquad x_2>2\Delta \tag{6}

とする。第0期でどちらが落札しても、第1期には企業1が先行し、すべての最終配分で両社が生産を続ける。

第0期に企業1が落札した場合と企業2が落札した場合の、第1期の政府収入はそれぞれ、

R_1^{(1)}=\frac{\beta}{3}(2\Delta x_2-\Delta^2), \qquad R_1^{(2)}=\frac{\beta}{3}(2\Delta x_2+5\Delta^2) \tag{7}

である。したがって、

R_1^{(2)}-R_1^{(1)}=2\beta\Delta^2. \tag{8}

命題2（逐次入札における将来価格への作用）。 条件（6）の下で各部分ゲームの閾値入札を選ぶと、企業1が両回の随伴枠を獲得する。第0期の配分価値差は、

\boxed{ W_{1,0}=\frac{\beta^2}{3}(2\Delta x_1+11\Delta^2), \qquad W_{2,0}=\frac{\beta^2}{3}(2\Delta x_2-\Delta^2). } \tag{9}

企業1の価値には、次回の落札費用の節約 2\beta^2\Delta^2 が含まれる。

証明。 第1期の閾値価格を式（4）から求めると式（7）を得る。企業1が第0期に落札した経路と、企業2が落札した経路の最終利潤差は、

\frac{(x_1+4\Delta)^2-(x_1+\Delta)^2}{9} =\frac{2\Delta x_1+5\Delta^2}{3}.

これに式（8）の支払節約を加え、時点0へ割り引くと、

W_{1,0} =\frac{\beta^2}{3}(2\Delta x_1+5\Delta^2) +2\beta^2\Delta^2.

企業2はどちらの経路でも第1期に支払わない。その最終利潤差は、

\frac{(x_2+\Delta)^2-(x_2-2\Delta)^2}{9} =\frac{2\Delta x_2-\Delta^2}{3}

なので式（9）を得る。また、

W_{1,0}-W_{2,0}=2\beta^2\Delta g+4\beta^2\Delta^2>0.

したがって第0期も企業1が落札する。□

将来の支払節約は、式（3）に独立した第三項を追加するものではない。将来の支払を含む継続価値を展開した内訳である。企業1は、競合の学習を阻止することで、次回の競合の入札価値を下げることも評価する。

政府収入の時点0での割引現在価値と、最終的な総輸出数量は、

\mathcal R=R_0+\beta R_1 =\frac{2\beta^2}{3}(2\Delta x_2-\Delta^2), \qquad Q_2=\frac{2a+k_1+k_2+2\Delta}{3}. \tag{10}

したがって、

\frac{\partial\mathcal R}{\partial k_1} =-\frac{4\beta^2\Delta}{3}<0, \qquad \frac{\partial Q_2}{\partial k_1}=\frac13>0. \tag{11}

例として a=10,k_2=1,\Delta=1,\beta=0.9 とすると、次を得る。数値はすべて仮定値である。

この有限期間モデルは、既に先行する企業による優位の再生産と将来価格への作用を示す。対称的な初期状態からの集中の発生、無限期間の固定化、すべての均衡における収入低下を証明するものではない。

5. 財政還流と支払方式

5.1 共通の正の便益を仮定した基準ケース

まず、訓練基盤の改善が落札者と敗者に同じ形の便益を与える場合を切り分ける。配分価値差 d_i>0 を所与とし、定数項を除いた利得を、

u_i^W=d_i-R+\theta_i R, \qquad u_i^L=\theta_i R, \qquad 0<\theta_i<1 \tag{12}

と置く。ここでは d_1>d_2 とする。

同じ価格における落札と敗北の差は d_i-R である。敗者も便益を受けるため、落札価値を機械的に d_i/(1-\theta_i) へ置き換えることはできない。

補題1（正の財政外部性と純粋均衡）。 連続入札額を認め、上限がないか十分高いとする。第二価格方式で同額時に公平な抽選を行うなら、式（12）のゲームには純粋戦略均衡が存在しない。他方、同額時に企業1を優先するなら、純粋戦略ナッシュ均衡は、

b_1=b_2=p,\qquad d_2\leq p\leq d_1 \tag{13}

である。弱く支配される入札を除いた純粋均衡は p=d_1 に絞られる。

証明。 厳密に低い入札をした敗者は、敗者のまま増額することで \theta_iR を増やせる。したがって純粋均衡では同額入札が必要である。公平な抽選における同額 b の期待利得は、

u_i^{\mathrm{tie}}=\frac12(d_i-b)+\theta_i b.

b<d_i なら微小な上乗せ、b>d_i なら微小な引下げが有利なので、両社について b=d_i が必要となり、d_1>d_2 と両立しない。

企業1優先の場合、企業1が入札を下げて敗北しない条件は p\leq d_1、企業2が上乗せして落札しない条件は p\geq d_2 である。敗者の引下げは還流便益を減らすため有利でない。これにより式（13）を得る。企業1の p<d_1 という入札は、d_1 を入札する戦略によって弱く支配される。したがって上記の精緻化の下では p=d_1 が残る。□

式（4）を d_i に対応させると、還流のない閾値入札では R=d_2 であるのに対し、この正の還流・企業1優先・弱支配除去のケースでは R=d_1 となる。その結果、

\frac{\partial d_2}{\partial k_1}=-\frac{2\beta\Delta}{3}, \qquad \frac{\partial d_1}{\partial k_1}=\frac{4\beta\Delta}{3} \tag{14}

と比較静学が逆転する。これは同額規則と精緻化を明示した可能性結果であり、財政還流一般の収入増加を意味しない。また、弱支配の除去は、震え手完全性や学習過程における確率的安定性と同一ではない。

5.2 財政還流の便益を学習から内生化する

式（12）の正の便益を仮定する代わりに、第4.2節の二回入札へ知識波及と還流を入れる。第0期の落札企業は \Delta、非落札企業は \sigma\Delta 学習する。第1期の落札企業は L(R)、非落札企業は \sigma L(R) 学習する。R は第0期の収入であり、

L(R)=\ell(\bar H+\kappa\lambda R),\quad L'(R)>0, \quad 0\leq\sigma<1 \tag{15}

とする。\lambda は還元率、\kappa は既存予算の削減による相殺を考慮した追加性を表す係数である。初回の支払が改善するのは翌期の学習であり、当期の学習量ではない。第1期の収入の効果は企業の評価期間より後に生じるとして、有限期間モデルを閉じる。

g>(1-\sigma)\Delta \tag{16}

を仮定する。第1期の閾値入札では、初回の結果によらず企業1が落札する。学習量を L、第1期の入札直前の数量分子を \widetilde x_i とすると、その配分価値差は、

\frac{\beta(1-\sigma)L}{3} [2\widetilde x_i+(1+\sigma)L] \tag{17}

であり、企業1と2の差は技術格差が正である限り正となる。

以後、現在の支払を差し引く前の継続価値を C_i^W(R),C_i^L(R) と表す。将来の入札支払はこの継続価値に含める。記号を短くするため、

m=2-\sigma,\qquad n=2\sigma-1

と置く。追随企業については、

C_2^L(R)=\frac{\beta^2}{9}[x_2+n\{\Delta+L(R)\}]^2,

C_2^W(R)=\frac{\beta^2}{9}[x_2+m\Delta+nL(R)]^2. \tag{18}

命題3（財政外部性の符号）。 条件（16）と内点条件の下では、

\boxed{ \operatorname{sgn}\frac{dC_2^L}{dR} =\operatorname{sgn}(2\sigma-1). } \tag{19}

証明。 式（18）を微分すると、

\frac{dC_2^L}{dR} =\frac{2\beta^2}{9} [x_2+n\{\Delta+L(R)\}]\,nL'(R).

角括弧内は企業2の最終数量の3倍であり正である。L'(R)>0 より式（19）を得る。□

\sigma<1/2 では、追加財源が競合の学習を主に助けるため、追随企業の利益を減らす。\sigma>1/2 では、自社への知識波及の効果がその競争効果を上回る。境界 1/2 は本稿の線形クールノー市場と対称的な波及構造に固有であり、一般的な実証閾値ではない。

例えば a=10,k_1=3,k_2=1,\Delta=1,\beta=0.9、L(R)=1+R/(1+R) では、追随企業の敗北時継続価値は次のように変わる。

5.3 弱い知識波及とゼロ収入均衡

配分価値差を d_i(R)=C_i^W(R)-C_i^L(R) と置くと、

d_2(R)=\frac{\beta^2(1-\sigma)\Delta}{3} [2x_2+(1+\sigma)\Delta+2(2\sigma-1)L(R)], \tag{20}

d_1(R)=\frac{\beta^2(1-\sigma)\Delta}{3} [2x_1+(1+\sigma)\Delta+(10-8\sigma)L(R)]. \tag{21}

これらの導出は付録Aに示す。

命題4（初回収入ゼロの純粋均衡）。 \sigma<1/2、条件（16）、関連する支払額全体での内点条件を仮定する。入札上限が十分高い第二価格方式では、

b_1=d_2(0),\qquad b_2=0 \tag{22}

が第0期のナッシュ均衡となる。政府の第0期収入はゼロであり、同額時の規則に依存しない。

証明。 企業2は増額しても敗者のままなら、命題3により自らの価値を下げる。落札すると支払は d_2(0) になる。\sigma<1/2 では C_2^W(R) も厳密に減少するため、

C_2^W(d_2(0))-d_2(0) <C_2^W(0)-d_2(0)=C_2^L(0).

同額時も、落札・敗北のどちらも元の利得を上回らない。企業1は正の入札で無料落札でき、入札ゼロで落札機会を減らす利益がない。後者は式（21）から d_1(0)>0 であることによる。□

命題4は、ゼロ収入均衡が財政還流によって初めて出現するとの主張ではない。通常の第二価格方式も、全ナッシュ均衡を認めれば低収入の均衡を持ち得る。ここで重要なのは、負の財政外部性によって敗者に厳密な価格引下げ誘因が生まれ、ゼロ入札を通常の価値差入札による弱支配で排除する議論が使えなくなることである。第1期以降を含む全政府収入がゼロになるとの主張でもない。

5.4 強い知識波及と純粋均衡の不存在

式（20）と（21）から、

d_1(R)-d_2(R) =2\beta^2(1-\sigma)\Delta[g+2(1-\sigma)L(R)]>0. \tag{23}

また、企業1が初回に敗北した場合の価値を将来の支払まで含めて微分すると、

\frac{dC_1^L}{dR} =\frac{2\beta^2L'(R)}9 \left\{ n[x_2+m\Delta+nL(R)] +3m[g-(1-\sigma)\Delta] \right\}. \tag{24}

\sigma>1/2 なら式（24）は正であり、両社とも敗北時に収入増加を歓迎する。

命題5（強い波及下の純粋均衡不存在）。 \sigma>1/2、条件（16）、内点条件を仮定する。連続入札額を認め、上限がないか、関連する配分価値差の上限より高いとする。公平な抽選で同額を処理する第二価格方式には、第0期の純粋戦略均衡が存在しない。

証明。 式（19）と（24）により、厳密に低い入札をした敗者は、敗者のまま増額することで利益を得る。よって純粋均衡は同額でなければならない。同額 b では、上乗せと引下げのいずれも有利でないために、両社について d_i(b)=b が必要である。しかし式（23）により両立しない。□

命題5は混合戦略均衡の不存在を意味しない。連続入札額のゲームでの存在証明と、有限刻みの入札ゲームでの存在保証は区別する必要がある。

6. 私的費用を伴う線形ベイズ縮約モデル

6.1 利得と情報構造

前節の状態を固定し、現在の支払を除く継続価値を R=0 の周りで展開する。私的な随伴費用を z_i とし、v_i=d_i(0)-z_i と置く。定数 C_i^L(0) を除くと、一次近似は、

u_i^W(v_i,R)=v_i-\tau_iR, \qquad u_i^L(R)=-\gamma_iR, \tag{25}

\tau_i=1-C_i^{W\prime}(0), \qquad \gamma_i=-C_i^{L\prime}(0) \tag{26}

となる。本節では式（25）を正確な利得として持つ基準ゲームを分析する。元の非線形モデルに対する大域的な近似精度は、別に検証すべき問題である。

解析用の対称ケースとして、\tau_i=\tau、\gamma_i=\gamma、

0<\gamma<\tau,\qquad \rho=\tau-\gamma>0, \tag{27}

v_i=v_0+\varepsilon\xi_i,\quad \xi_i\overset{\mathrm{iid}}{\sim}U[-1,1],\quad 0<\varepsilon<v_0 \tag{28}

を置く。両社は自社の値だけを知り、分布は共有する。タイプは入札前に決まり、入札によって変更できない。これは随伴費用の私的変動による価値差の変動として実装できる。恒久的な私的生産性は導入しない。

参加企業集合は固定し、ゼロ入札を認める。敗北時の外部性は、参加料ではなく競合の学習から受ける効果である。観察可能な事前退出や、退出を条件とした入札方式の変更を許す場合は、別のゲームとなる。

以下、l=v_0-\varepsilon、h=v_0+\varepsilon、w=h-l と書く。同じ価格で落札と敗北が無差別になる閾値は v_i/\rho である。

6.2 第二価格方式の対称単調均衡

命題6（第二価格方式の対称均衡と収入）。 式（25）から（28）の下で、対称な狭義単調入札のクラスに、次の微分方程式を満たすベイズ・ナッシュ均衡が存在する。

\boxed{ \gamma(h-v)b_{\mathrm{SP}}'(v)+\rho b_{\mathrm{SP}}(v)=v, \qquad b_{\mathrm{SP}}(l)=0. } \tag{29}

このクラスの解は一意であり、上端では b_{\mathrm{SP}}(h)=h/\rho となる。政府の期待収入は、

\boxed{ \mathbb E[R_{\mathrm{SP}}] =\frac{l+w/3}{\tau+\gamma} =\frac{v_0-\varepsilon/3}{\tau+\gamma}. } \tag{30}

証明。 価値 v の企業が b(z) を入札すると、その期待利得は、

U(v,z)=\int_l^z[v-\tau b(t)]f(t)\,dt -\gamma b(z)[1-F(z)].

したがって、

U_z(v,z)=[v-\rho b(z)]f(z) -\gamma b'(z)[1-F(z)]. \tag{31}

z=v での最適化条件が式（29）を与える。これを式（31）へ代入すると、U_z(v,z)=(v-z)f(z) である。よって z=v が大域的な最適反応となる。最低入札0より下への逸脱は不可能で、最高入札より上は最高タイプを装う場合と同じ支払・配分になるため、有利でない。解の式と単調性、期待収入の積分は付録Bに示す。□

\tau,v_0,\varepsilon を固定すれば、

\frac{\partial\mathbb E[R_{\mathrm{SP}}]}{\partial\gamma} =-\frac{v_0-\varepsilon/3}{(\tau+\gamma)^2}<0. \tag{32}

負の財政外部性は、この対称均衡において収入を下げる。ただし、すべてのタイプの入札が一律に下がるという命題ではない。上端の入札 h/(\tau-\gamma) は \gamma とともに増加する。第二価格方式の収入は敗者側の入札によって決まるため、最高タイプの入札の増大と期待収入の低下は両立する。

6.3 第一価格方式との比較

命題7（対称単調均衡間の収入順位）。 同じ利得・情報構造の第一価格方式には、

\boxed{ b_{\mathrm{FP}}(v)=\frac{l}{\rho}+ \frac{v-l}{2\tau-\gamma} } \tag{33}

という対称単調ベイズ・ナッシュ均衡がある。その期待収入は、

\boxed{ \mathbb E[R_{\mathrm{FP}}] =\frac{l}{\tau-\gamma}+ \frac{2w}{3(2\tau-\gamma)}. } \tag{34}

\gamma>0 なら、両方式の上記均衡について、

\mathbb E[R_{\mathrm{FP}}]> \mathbb E[R_{\mathrm{SP}}]. \tag{35}

証明。 価値 v の企業が b(z) を入札した期待利得は、

U(v,z)=F(z)[v-\tau b(z)] -\gamma\int_z^h b(t)f(t)\,dt.

最適化条件は \tau Fb'=(v-\rho b)f である。下端で有界な解は式（33）であり、代入すると再び U_z(v,z)=(v-z)f(z) を得る。入札範囲外への逸脱も有利でない。最大タイプの期待値を用いると式（34）を得る。また、収入差は、

\frac{2\gamma l}{(\tau-\gamma)(\tau+\gamma)} +\frac{\gamma w}{(2\tau-\gamma)(\tau+\gamma)}>0

である。□

第一価格方式では、敗者が自分の入札だけで勝者の支払を下げる経路がない。\tau を固定した \gamma の増加は、敗北時の不利益を強め、式（34）の収入を増やす。これは還元率 \lambda の総効果ではない。元のモデルでは \tau、\gamma、価値分布が同時に変わり得るためである。また、式（35）は指定された対称均衡間の比較であり、全均衡についての方式の優越や、社会的・防衛的な最適性を示さない。

6.4 小さい私的情報の下での非対称ゼロ収入均衡

対称単調均衡だけでは、均衡集合を捉えられない。

命題8（私的情報に頑健なゼロ収入均衡の存在）。 式（25）から（28）の第二価格方式で、入札上限がないか h/\rho 以上とする。十分条件、

\boxed{ \varepsilon\leq\frac{\gamma v_0}{2\tau-\gamma} } \tag{36}

が成り立つなら、

\boxed{ b_1(v_1)=\frac{v_1}{\rho},\qquad b_2(v_2)=0 } \tag{37}

はベイズ・ナッシュ均衡である。企業1が確率1で落札し、政府収入はゼロとなる。企業番号を入れ替えた均衡も存在し、命題6の対称均衡と共存する。

証明。 企業1はすべてのタイプで正の入札を行い、相手がゼロなので無料で落札して v_1>0 を得る。他の正の入札でも利得は同じで、ゼロへ下げる利益はない。

企業2が落札するためには、少なくとも l/\rho の価格を支払う可能性のある入札が必要である。各落札事象での利得は、

v_2-\tau R\leq h-\frac{\tau l}{\rho}.

条件（36）は \rho h\leq\tau l と同値なので、この上限は非正となる。正の入札で敗北した場合も、利得は -\gamma R<0 となる。ゼロ入札は政府収入ゼロで利得0を与えるため、どのタイプにも有利な逸脱がない。同額となる事象の確率はゼロである。□

命題8は十分条件であり、条件（36）が必要であるとは主張しない。ここで用いる企業1の入札は v_1/\rho という落札・敗北の無差別価格であり、任意に巨大な入札によって構成したものではない。

任意の \gamma>0 について、十分小さい正の \varepsilon は条件（36）を満たす。一方、対称均衡では、

\lim_{\varepsilon\downarrow0}\mathbb E[R_{\mathrm{SP}}] =\frac{v_0}{\tau+\gamma}>0. \tag{38}

したがって、私的情報の微小化は、一意の収入予測を選択しない。式（38）は対称均衡系列の期待収入の極限であって、全均衡の収入の極限ではない。

例として v_0=1,\varepsilon=0.1,\tau=1,\gamma=0.25 を置くと、条件（36）の右辺は約0.143であり、次の均衡が共存する。

非対称均衡は、恒久的な生産性格差を仮定しなくても、一期の入札行動に非対称な役割が成立することを示す。ただし、動学的な技術集中、均衡への収束、確率的な安定性まで示したわけではない。

6.5 非対称な企業への十分条件

状態を固定した線形モデルで企業別係数を認め、\rho_i=\tau_i-\gamma_i>0、v_i\in[l_i,h_i]、l_1>0、\gamma_2>0 とする。企業1の入札を v_1/\rho_1、企業2の入札を0としたとき、

\boxed{ h_2\leq\frac{\tau_2l_1}{\rho_1} } \tag{39}

は、同じ証明によって企業1が無料落札する均衡の十分条件となる。式（39）は、動学モデルの各状態で低収入の候補均衡を探索する指標を与える。ただし、局所線形化した係数から、元の非線形ゲームの大域的な均衡を保証することはできない。

7. 無限期間モデルへの拡張

7.1 状態、タイミング、移行

公開状態を s_t=(k_{1,t},k_{2,t},H_t) とする。各期に現在の状態で製品市場利潤が発生し、企業は当期だけ有効な私的随伴費用 z_{i,t} を観察して入札する。落札者を w_t、政府収入を R_t とすると、上限処理を除いた技術移行の例は、

k_{i,t+1}=(1-\delta_K)k_{i,t} +\ell(H_t)[\mathbf1\{w_t=i\}+\sigma\mathbf1\{w_t\ne i\}] +\xi_{i,t}. \tag{40}

訓練基盤の移行は、

H_{t+1}=(1-\delta_H)H_t+B+\kappa\lambda R_t \tag{41}

を基準とし、必要に応じて収穫逓減や容量上限を組み込む。B は入札収入に依存しない基礎投入である。随伴枠の販売が訓練を完全に自立採算化すると仮定する必要はない。

費用 z_{i,t} は公開状態を条件として企業間・期間間で独立に再抽選され、技術移行へ直接残らないとする。恒久的な私的生産性や私的学習成果を入れる場合には、相手の状態に関する信念を追加しなければならず、この三変数だけでは十分な状態表現にならない。

7.2 均衡条件

企業の定常行動戦略を \mu_i(db_i\mid s,z_i)、私的費用を観察する前の価値を V_i(s) とする。競合戦略を所与とした条件付き行動価値を、

Q_i(s,z_i,b_i;\mu_j,V_i) =\mathbb E\left[ -\mathbf1\{w=i\}(z_i+R) +\beta V_i(s')\mid s,z_i,b_i \right] \tag{42}

と定義する。製品市場の当期利潤はこの行動選択に依存しないので、

V_i(s)=\pi_i(s)+ \mathbb E_{z_i}\left[\max_{b_i}Q_i(s,z_i,b_i;\mu_j,V_i)\right], \tag{43}

かつ \mu_i の支持が式（42）の最大化行動に含まれることが、定常マルコフ戦略に基づく均衡条件となる。第6節の縮約係数は、この継続価値から得られる候補であり、最終的には式（42）全体で逸脱を評価する必要がある。

7.3 有限離散化での存在と、その限界

命題9（有限離散化での存在）。 公開状態、入札行動、当期私的費用の支持が有限であり、利得が有界、割引因子が1未満、タイプが公開状態を条件として毎期独立に再抽選されるとする。少なくとも一つの定常均衡が、混合戦略を許すクラスに存在する。

証明の構成。 各公開状態における行動を、当期の各私的費用に入札を割り当てる有限個のタイプ依存計画として表す。タイプを積分した利得と移行確率により、有限状態・有限行動の割引確率ゲームを得る。[fink1964]の定常均衡存在結果を適用できる。正の確率で生じる各タイプについて、計画の最適性はタイプ観察後の最適性を含む。□

この命題は、純粋均衡、一意性、連続入札への極限での存在、数値反復の収束を保証しない。特に同額入札を伴う不連続性があるため、刻み幅をゼロへ近づけるだけでは存在や収束は証明されない。

7.4 集中の発生と持続を分ける

技術格差 g=k_1-k_2 と、均衡から計算した企業1の落札確率 P_1(s) を用いる。式（40）で両社の外生的技術ショックの条件付き平均が等しく、上限・下限処理が作用しない領域では、

\boxed{ \mathbb E[g_{t+1}-g_t\mid s] =-\delta_Kg+(1-\sigma)\ell(H)[2P_1(s)-1]. } \tag{44}

企業1が先行する状態で期待格差が拡大する条件は、

(1-\sigma)\ell(H)[2P_1(s)-1]>\delta_Kg \tag{45}

である。これは条件付きのドリフト恒等式であり、P_1 自体を均衡から求めなければ集中の証明にならない。

分析では、短期的な格差拡大、先行企業が交代するまでの期待時間、吸収的な固定化を区別する。外生的な技術獲得が全状態間の到達可能性を残すなら、永続的な固定化は成立しなくても、優位の持続期間が長くなる可能性はある。

式（39）の状態依存版が、企業1の無料落札後にさらに満たされやすくなるかは、動学的な低収入均衡の候補条件である。しかし、局所的な不等式、均衡価値の自己整合性、状態集合の不変性は別々に検証しなければならない。本稿はこの不変集合の存在をまだ証明していない。

7.5 数値計算と逸脱検証

数値分析では、対称戦略、企業1優位、企業2優位、低入札からなる初期候補を用いる。候補が異なる均衡へ収束した場合、収入や防衛力を一つの値にまとめず、それぞれの帰結を報告する。命題8のような非対称均衡は、対称な戦略クラスだけを探索すると発見できない。

候補戦略 \mu について価値を再評価し、各状態・タイプでの一回逸脱改善幅を、

\epsilon_B=\max_{i,s,z_i} \left\{ \max_{b_i}Q_i^\mu(s,z_i,b_i) -\int Q_i^\mu(s,z_i,b_i)\,\mu_i(db_i\mid s,z_i) \right\} \tag{46}

とする。非正規化割引利得に対し、この幅が全状態・タイプで \epsilon_B 以下なら、任意の継続的な最適逸脱による改善幅は \epsilon_B/(1-\beta) 以下に抑えられる。これは固定された競合の定常戦略に対する最適反応問題の割引性による。

刻み幅、状態境界、入札上限、同額規則、技術ショック、私的費用の幅を変えて再検証する。少なくとも一状態で還流効果が小さくなる場合、粗い刻みにより敗者の微小な増減額が不可能となり、連続モデルにない見かけの安定性を生む可能性がある。

本稿の数値表は解析式へのパラメータ代入であり、無限期間モデルの均衡シミュレーションではない。式（40）から（46）に基づく無限期間の計算結果は、今後の検証対象である。

8. 訓練財政と防衛力への含意

本稿は入札収入と防衛力を同一視しない。随伴による技術改善は装備の性能や生産効率を高め得る一方、財源の減少は訓練基盤への追加投入を減らし得る。したがって、先行企業の技術進歩によって R が下がることだけでは、防衛力の総効果は決まらない。

政府の評価対象を、例えば D(H,k_1,k_2) と置くなら、制度比較は、

\mathbb E\sum_{t=0}^{\infty}\beta_G^tD(H_t,k_{1,t},k_{2,t}) \tag{47}

を、実物的な随伴負担と予算制約の下で比較する問題となる。D における装備分野の補完性や単一企業への依存は、別の仮定として明示しなければならない。

入札支払は企業から政府への移転である。社会的厚生を計算する場合、政府収入を加えながら企業の同じ支払を無視する二重計上は避ける必要がある。移転が防衛力に作用するのは、追加的な訓練投入や予算制約を変えるためである。還元率が高くても既存予算が同額削減されるなら、追加性 \kappa は小さくなり、財政還流の実物的効果も弱まる。

政策的には、配分と資金調達を同時に評価する必要がある。学習機会を保護する育成枠は、追随企業の技術改善だけでなく、将来の訓練基盤の充実を歓迎する誘因を変える可能性がある。ただし、その変化が配分損失や実施費用を上回ることは本稿の結果から自動的には導かれない。

第一価格方式との比較も、収入だけで評価を完結させない。高い支払は企業の手元資金を減らし、資金制約があれば技術開発を損なう可能性がある。本稿の基準モデルはその資金制約を省いている。また、観察者の受入れによって訓練自体が変質する効果や、随伴枠の最適供給量も分析していない。

9. 分析上の限界と追加の証明課題

本稿の結果は、次の範囲に整理できる。

特に重要な追加課題は三つある。第一に、縮約利得の線形性を外し、実際の継続価値で同じ均衡構造が成立する範囲を示すことである。第二に、低収入均衡を一つ構成するだけでなく、他の均衡との選択、摂動に対する持続、学習過程での到達可能性を調べることである。第三に、財政効果と技術効果を統合し、防衛力への符号が反転する条件を特定することである。

業種別留保枠、入札補助、共同観察、随伴供給量の設計は、これらの均衡を所与とする制度比較として別稿に委ねる。政府・部隊・隊員の目的の相違や、訓練計画の選択も本稿の外に残る。

10. 結論

随伴機会の競争的配分は、企業の学習成果を配分するだけでなく、将来の競争相手の入札価値と、学習基盤の資金調達誘因を変える。財政還流のない有限期間モデルでは、先行企業の技術進歩が輸出数量を増やしながら入札収入を減らす。逐次入札では、先行企業は次回の落札価格を下げる利益を現在の入札へ織り込む。

財政還流を加えると、その作用は企業への将来便益の分布に依存する。訓練基盤の改善が先行企業の学習を主に助ける場合、追随企業は政府収入の増加を嫌い、第二価格方式では敗者として価格を引き下げる誘因を持つ。反対に、十分な知識波及があれば、敗者が価格を引き上げる経路が生じる。

私的費用を伴う線形モデルでは、対称均衡における方式間の収入差を明示できる。同時に、任意に小さい正の不確実性の下でも、ゼロ収入の非対称均衡と正の収入の対称均衡が共存し得る。したがって、情報の不完全性を導入することだけでは、極端な財政的帰結や均衡の複数性を除去できない。

本稿が示すのは、技術革新を促す学習機会の市場と、その機会を供給する公共基盤の財源が、同じ企業間競争によって異なる方向へ動き得ることである。制度の評価には、学習機会の獲得者だけでなく、将来の基盤整備から誰が利益を得るのか、どの均衡が維持されるのかを含める必要がある。

付録A. 財政還流・知識波及モデルの継続価値

第5.2節の記号を用いる。初回に企業1が落札した場合、第1期の企業2の数量分子は x_2+n\Delta、初回に企業2が落札した場合は x_2+m\Delta である。式（17）による第1期の政府収入は、

R_1^{(1)}(R)=\frac{\beta(1-\sigma)L}{3} [2(x_2+n\Delta)+(1+\sigma)L],

R_1^{(2)}(R)=\frac{\beta(1-\sigma)L}{3} [2(x_2+m\Delta)+(1+\sigma)L]. \tag{A1}

ここで L=L(R) であり、

R_1^{(2)}(R)-R_1^{(1)}(R) =2\beta(1-\sigma)^2\Delta L. \tag{A2}

企業1の継続価値は、

C_1^W(R)=\frac{\beta^2}{9}[x_1+m\Delta+mL]^2 -\beta R_1^{(1)}(R),

C_1^L(R)=\frac{\beta^2}{9}[x_1+n\Delta+mL]^2 -\beta R_1^{(2)}(R). \tag{A3}

式（A2）と（A3）の差を取ると、最終利潤の差と将来支払の節約を合わせて式（21）を得る。企業2には将来支払がなく、式（18）の差から式（20）を得る。

また、式（A3）の第二式を R で微分し、x_1-x_2=3g、m=2-\sigma、n=2\sigma-1 を使って整理すると式（24）になる。この計算では、企業1が初回敗北後も次回に落札するため、その支払が増える効果まで含めている。

付録B. 第二価格方式の入札関数と期待収入

y=(v-l)/w\in[0,1] と置くと、式（29）は、

\gamma(1-y)\frac{db}{dy}+\rho b=l+wy, \qquad b(0)=0. \tag{B1}

\rho\ne\gamma の場合、解は、

b(y)=\frac{w}{\rho-\gamma}y +\left[\frac{l}{\rho}-\frac{\gamma w}{\rho(\rho-\gamma)}\right] \left[1-(1-y)^{\rho/\gamma}\right]. \tag{B2}

\rho=\gamma の場合は、

b(y)=\frac{hy+w(1-y)\log(1-y)}{\gamma}, \tag{B3}

であり、y=1 で (1-y)\log(1-y)=0 と連続延長する。

解の単調性を確認するため、d(y)=l+wy-\rho b(y) と置く。式（B1）より b_y=d/[\gamma(1-y)] である。d(0)=l>0 で、内部で d=0 となる点では d_y=w>0 なので、正から負へ横断できない。したがって内部で b_y>0 となる。上端ではいずれの解も b(1)=h/\rho を満たす。

政府収入は二つの一様タイプの小さい方の入札であり、

\mathbb E[R_{\mathrm{SP}}]=2\int_0^1(1-y)b(y)\,dy.

式（B1）に 1-y を掛けて積分する。b(0)=0、b(1)<\infty と部分積分により、

(\rho+2\gamma)\int_0^1(1-y)b(y)\,dy =\frac l2+\frac w6.

\rho+2\gamma=\tau+\gamma より式（30）が従う。

最低タイプが価値 l>0 を持っていても第二価格均衡で入札0を選ぶことは、境界条件の誤りではない。敗北時の支払を自らの入札で増やす不利益があり、式（31）の大域的最適化がその境界行動を支持する。

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